להציל את מיסטר בנקס מתמקד בסיפור מאחורי הקלעים של יצירת הסרט הקלאסי "מרי פופינס" שהופק על ידי אולפני וולט דיסני ב-1964. העלילה עוקבת אחרי הסופרת פ.ל. טראוורס (אמה תומפסון), שהמציאה את דמותה המפורסמת של מרי פופינס, ומתמודדת עם תהליך מורכב של הפיכת ספרה לסרט קולנוע. הסרט מתרחש בשנות השישים, כאשר טראוורס מגיעה להוליווד כדי לנהל משא ומתן עם וולט דיסני (טום הנקס) וצוות ההפקה, שנאבקים לשכנע אותה לוותר על שליטה מסוימת ביצירתה.
הסיפור משלב פלאשבקים אל ילדותה של טראוורס בקווינסלנד, אוסטרליה, בשנת 1907, ומציג את הקשר המורכב שלה עם אביה, דמות שהשפיעה עמוקות על יצירת מרי פופינס. טראוורס מתמודדת עם זיכרונות כואבים ועם תחושת אובדן, שמניעים אותה להגן על הדמות שיצרה באובססיביות. במהלך הצילומים, היא שוקלת לחזור לאוסטרליה, אך הקונפליקט הפנימי שלה והלחצים מההפקה מאלצים אותה להתמודד עם העבר שלה ועם ההחלטות שעליה לקבל לגבי יצירתה. הסרט מציג את המתח בין האמנות למסחר, בין הרצון לשמר את האותנטיות של הסיפור לבין הצורך להתאים אותו לקהל הרחב. טראוורס ודיקני מנהלים דיאלוג מתמשך על המשמעות של מרי פופינס, ועל ההשפעה של אביה עליה. בסופו של דבר, ההחלטות שלה יקבעו את גורלו של הסיפור האהוב, ואת האופן שבו ייזכרו הדמויות והמסרים שלה בדורות הבאים. הסרט מדגיש גם את הקשר האישי העמוק בין טראוורס לדמות אביה, שממנו שאבה השראה ליצירת מרי פופינס. ההפקה מתארת את המאבק הפנימי שלה בין שמירת הזיכרונות האישיים לבין הצורך לוותר על שליטה אמנותית לטובת הסרט. בסופו של דבר, טראוורס מצליחה למצוא איזון בין האמנות והמסחר, כשהסרט מצליח לשמר את רוח הסיפור המקורי ולהפוך לאחת הקלאסיקות האהובות בקולנוע. הסרט מהווה מחווה לאומנות הסיפור, להיסטוריה של הוליווד ולמורשת התרבותית של מרי פופינס, ומציג את מורכבות תהליך ההפקה ואת הקונפליקטים האישיים שמאחוריו.
